二维随机变量及其分布

二维随机变量及其分布函数

二维随机变量的概念

设随机试验$E$的样本空间$\Omega=\{\omega|\omega为样本点\}$，$X=X(\omega),Y=Y(\omega)$分别为定义在$\Omega$上的随机变量，则称$(X,Y)$为二维随机变量

[!问题] 为什么不分别研究$X,Y$，二整体的研究$(X,Y)$?? 分别研究不能体现$X$与$Y$之间的关系

二维随机变量的联合分布函数

联合分布函数：$F(x,y)=P\{X\le x,Y\le y\},-\infty<x<+\infty,-\infty<y<+\infty$
- $F(x,y)$在点$(x,y)$出的取值为落入对应平面区域的概率
性质：
- $P\{x_1< X\le x_2,y_1< Y \le y_2\}=F(x_2,y_2)-F(x_2,y_1)-F(x_1,y_2)+F(x_1,y_1)$（根据面积推导）

二维离散型随机变量及其分布律

二维离散型随机变量：二维随机变量$(X,Y)$的所有可能取值为有限个或可列无穷多个
列表：
$P\{(X,Y)\in D\}=\sum_{(x_i,y_j)\in D}P_{ij}$，其中D为任一平面点集
$F(X,Y)=P\{X\le x,Y\le y\}=\sum_{x_i\le x}\sum_{y_i\le y}p_{ij},-\infty<x<+\infty,-\infty<y<+\infty$

#概率论重点二维连续型随机变量及其密度函数

二维连续型随机变量及其密度函数的概念

$F(x,y)=\int_{-\infty}^{x}\int_{-\infty}^{y}f(u,v)dudv$
- $f(x,y)$为$(X,Y)$的密度函数或联合密度函数

二维连续型随机变量密度函数的性质与有关结论

性质：满足以下性质，则为某二维连续型随机变量的密度函数
- $f(x,y)\ge 0$
- $\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dxdy=1$
结论
- 设二维连续型随机变量$(X,Y)$的密度函数为$f(x,y)$，则
  - 在$f(x,y)$的连续点$(x,y)$处，$\frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)$
  - 对于平面上任意区域D，有$P\{(X,Y)\in D\}=\iint_{D}f(x,y)dxdy$
    - $L$为平面上的一条曲线：$P\{(X,Y)\in L\} = 0$

几种常见的二维连续型随机变量的概率分布

二维均匀分布($f(x,y)=\begin{cases}\frac{1}{S_D},(x,y)\in D\\0,(x,y)\notin D\end{cases}$\)
- 记作：$(X,Y)\sim U(D)$
- $P\{(X,Y)\in G\}=P\{(X,Y)\in G \cap D\}=\frac{G\cap D的面积}{S_D}$
二维正态分布($f(x, y)=\frac{1}{2 \pi \sigma_{1} \sigma_{2} \sqrt{1-\rho^{2}}} e^{-\frac{1}{2\left(1-\rho^{2}\right)}\left[\frac{\left(x-\mu_{1}\right)^{2}}{\sigma_{1}^{2}}-2 \rho \frac{\left(x-\mu_{1}\right)\left(y-\mu_{2}\right)}{\sigma_{1} \sigma_{2}}+\frac{\left(y-\mu_{2}\right)^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\right]}$\)
- 记作：$(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2;\sigma_1^2,\sigma_2^2;\rho)$
- 曲面关于直线$\begin{cases}x=\mu_1\\y=\mu_2\end{cases}$

#概率论重点边缘分布

边缘分布的核心问题：利用(X,Y)的概率分布求X和Y的概率分布

二维随机变量的边缘分布函数

\[\begin{aligned}F_X(x)=F(x,+\infty)=\lim_{y\to+\infty}F(x,y),-\infty<x<+\infty\\F_Y(y)=F(+\infty,y)=\lim_{x\to+\infty}F(x,y),-\infty<y<+\infty\end{aligned}\]

边缘分布可以由联合分布$(X,Y)$来确定

二维离散型随机变量的边缘分布

$\(\begin{aligned}P\left\{X=x_{i}\right\}=\sum_{j} p_{i j} \stackrel{\text { 记为 }}{=} p_{i \bullet}, \quad i=1,2, \cdots\\P\left\{Y=y_{j}\right\}=\sum_{i} p_{i j} \stackrel{\text { 记为 }}{=} p_{\bullet j}, j=1,2, \cdots\end{aligned}$\) - 将X和Y的边缘分布律添加到$(X,Y)$分布律的列表得： - 关于$X$的边缘分布率可从表中的$p_{ij}$进行纵向求和得 - 关于$Y$的边缘分布率可从表中的$p_{ij}$进行横向求和得

[!NOTE] 边缘分布率不能唯一确定联合分布律

#概率论重点二维连续型随机变量的边缘密度函数

设$(X,Y)$为二维连续型随机变量，分别称$X$和$Y$的密度函数为$(X,Y)$关于$X$和$Y$的边缘密度函数，记为$f_X(x)$和$f_Y(y)$$$f_{X}(x)= \int {- \infty}^{+ \infty}f(x,y)dy,- \infty <x<+ \infty \quad f{Y}(y)= \int _{- \infty}^{+ \infty}f(x,y)dx,- \infty <y<+ \infty $$
- 证明：
- 注：
  - $F_X(x)$可通过在给定点$x$处，$f(x,y)$的对$y$从$-\infty$到$+\infty$（纵向）积分求得
  - $F_Y(y)$可通过在给定点$y$处，$f(x,y)$的对$x$从$-\infty$到$+\infty$（横向）积分求得

条件分布

二维随机变量的条件分布函数

二维离散型随机变量的条件分布率

如果已知$Y$的取值为$y$，且$P \left\{ Y=y_{j}\right\} =p_{\cdot j}>0$，则称$P \left\{ X=x_{i}|Y=y_{j}\right\} = \frac{p_{ij}}{p_{e.j}},i=1,2,\cdots$为在条件$Y=y_j$下，$X$的条件分布率
如果已知$X$的取值为$x$，且$P \{ X = x _ { i } \} = p _ { i \cdot } \gt 0$，则称$P \{ Y = y _ { j } | X = x _ { i } \} = \frac { P _ { i j } } { P _ { i } } , \quad j = 1 , 2 , \cdots$为在条件$X=x_i$下，$Y$的条件分布率
条件分布率满足的性质：$$ \sum {i}\frac{p{ij}}{p_{\cdot j}}= \frac{\sum {i}p{ij}}{p_{\cdot j}}= \frac{p_{\cdot j}}{p_{\cdot j}}=1$$
条件分布率的表格形式：$\(\begin{array}{l} \left(X \mid Y=y_{j}\right) \sim\left(\begin{array}{ccccc} x_{1} & x_{2} & \cdots & x_{i} & \cdots \\ \frac{p_{1 j}}{p_{\bullet j}} & \frac{p_{2 j}}{p_{\bullet j}} & \cdots & \frac{p_{i j}}{p_{\bullet j}} & \cdots \end{array}\right) \\ \left(Y \mid X=x_{i}\right) \sim\left(\begin{array}{lllll} y_{1} & y_{2} & \cdots & y_{j} & \cdots \\ \frac{p_{i 1}}{p_{i \bullet}} & \frac{p_{i 2}}{p_{i \bullet}} & \cdots & \frac{p_{i j}}{p_{i \bullet}} & \cdots \end{array}\right) \end{array}$\)

二维连续型随机变量的条件密度函数

- 定义： - 如果已知$Y=y$，且$f_Y(y)>0$，则称$f_{X|Y}(x|y)= \frac{f(x,y)}{f_{Y}(y)},- \infty <x<+\infty$为在条件$Y=y$下，$X$的条件密度函数 - 如果已知$X=x$，且$f_X(x)>0$，则称$f_{Y|X}(y|x)= \frac{f(x,y)}{f_{X}(x)},- \infty <y<+\infty$为**在条件$X=x$下，$Y$的条件密度函数

[!注意] 对于二维连续型随机变量，不能使用第一张的条件概率计算公式计算 - $P \left\{ a \leq X \leq b|Y=y_{0}\right\} = \int _{a}^{b}f_{X|Y}(x|y_{0})dx$ - $P \left\{ c \leq Y \leq d|X=x_{0}\right\} = \int _{c}^{d}f_{Y|X}(y|x_{0})dy$ - 根据条件密度函数与边缘分布密度函数求联合分布函数：$f(x,y)=f_X(x)\cdot f_{Y|X}(y|x)=f_Y(y)\cdot f_{X|Y}(x|y)$

#概率论重点随机变量的独立性

随机变量相互独立的概念

随机变量$X$和$Y$相互独立是指$X$和$Y$的各自取值情况没有任何关系
相互独立：$\(\left. \begin{array} { l } { P ( A _ { X } B _ { Y } ) = P ( A _ { x } ) P ( B _ { y} ) } \\ { P \{ X \leq x , Y \leq y \} = P \{ X \le { x }\} P \{ Y \leq y \} } \\ { F ( x , y ) = F _ { X } ( x ) F _ { Y } ( y ) } \end{array} \right.$\)

离散型随机变量的独立性

$P \left\{ X=x_{i},Y=y_{j}\right\} =P \left\{ X=x_{i}\right\} P \left\{ Y=y_{j}\right\}$即$p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j}$
$X$和$Y$相互独立的充要条件：$p_{ij}=p_{i\cdot}p_{\cdot j},\quad i=1,2, \cdots ,j=1,2,\cdots$

连续型随机变量的独立性

相互独立的充要条件：对于平面上几乎所有的点$(x,y)$，都有$f(x,y)=f_{X}(x)f_{Y}(y)$

[!注] 1. 平面上几乎所有的点是指平面上除去面积为0的点集之外的所有点$(x,y)$ 2. 如果存在平面区域$D$，当$(x,y)\in D$时，$f(x,y)\neq f_{X}(x)f_{Y}(y)$，则$X$与$Y$不相互独立
是否独立的证明过程
1. 由$f(x,y)$计算出边缘密度$f_X(x)$和$f_Y(y)$
2. 然后判断$f(x,y)$与$f_X(x)f_Y(y)$的关系
设二维随机变量$(X,Y)$的密度函数，其中$a \leq x \leq b,c \leq y$为区域$D$，证明$X$与$Y$相互独立($f(x,y)= \left\{ \begin{matrix} f_1(x,y)=kg(x)h(y), \quad a \leq x \leq b,c \leq y \leq d \\ 0,其他 \\ \end{matrix} \right.$\)
- 证明过程：
- 结论（不可直接使用）
  - 如果$D$不是正矩形，则$X$与$Y$不互相独立
  - 如果$f_{1}(x,y)\neq g(x)h(y)$，则$X$与$Y$不互相独立
  - 相反，则相互独立

随机变量独立性的有关结论

设随机变量$X$与$Y$相互独立，则对任意实数集合$L_1,L_2$，有$P \left\{ X \in L_{1},Y \in L_{2}\right\} =P \left\{ X \in L_{1}\right\} P \left\{ Y \in L_{2}\right\}$
设随机变量$X$与$Y$相互独立，$g(x),h(y)$是连续函数，则随机变量$g(x)$与$h(y)$也相互独立
- 该逆命题并不成立

#概率论重点二维随机变量函数的分布

当二维随机变量$(X,Y)$的概率分布已知时，如何求出$Z=g(X,Y)$的概率分布

二维离散型随机变量的函数$Z=g(X,Y)$的概率分布

$(X,Y)$的分布律：$\(\begin{array}{c|ccccc} (X, Y) & \left(x_{1}, y_{1}\right) & \left(x_{1}, y_{2}\right) & \ldots & \left(x_{i}, y_{j}\right) & \cdots \\ \hline P & p_{11} & p_{12} & \ldots & p_{i j} & \ldots \end{array}$\)
求解步骤：
1. 在$(X,Y)$的分布律中添加一行$Z=g(X,Y)$，并进行计算对应的值填入对应的行中
2. 适当的进行合并，得到$Z$的分布律

二维连续型随机变量的函数$Z=g(X,Y)$的概率分布

连续型的情况较为复杂： - $Z=g(X,Y)$可能为离散型 - $Z=g(X,Y)$可能为连续型 - $Z=g(X,Y)$可能为非离散型非连续型 - 当$Z=g(X,Y)$为连续型随机变量，或既非离散型，也非连续型随机变量时，通常使用分布函数法来求出$Z$的分布函数：$\(F_{Z}(z)=P \left\{ Z \leq z \right\} =P \left\{ g(X,Y)\leq z \right\} = \iint _{g(x,y)\leq z}f(x,y)dxdy,- \infty <z<+\infty$\) - 如果Z为连续型随机变量，则其密度函数为：$f_Z(z)=F_Z^\prime(z),- \infty <z<+\infty$ [!难点] 在计算$F_Z(z)$的过程中，经常需要对变量$z$进行分段讨论

- 设二维随机变量$(X,Y)$的密度函数为$f(x,y)$，则$Z=X+Y$的密度函数为$\(f_{z}(z)= \int _{- \infty}^{+ \infty}f(x,z-x)dx \quad 或 \quad f_{z}(z)= \int _{- \infty}^{+ \infty}f(z-y,y)dy$\) - 卷积公式：如果$X$和$Y$相互独立，则$Z=X+Y$的密度函数为：$\(f_{Z}(z)= \int _{- \infty}^{+ \infty}f_{X}(x)f_{Y}(z-x)dx \quad或\quad f_{Z}(z)= \int _{- \infty}^{+ \infty}f_{X}(z-y)f_{Y}(y)dy$\) - 结论（a、b为不全为0的常数）： - 设随机变量$X$和$Y$相互独立，且$X\sim N(\mu_1, \sigma^2_1)\quad Y\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$，则$aX+bY\sim N(a\mu_1+b\mu_2,a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2)$ - 设二维随机变量$(X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$，则aX+bY服从正态分布 - 设二维随机变量$(X,Y)$服从二维正态分布，$\left\{ \begin{matrix} U=aX+bY \\ V=cX+dY \\ \end{matrix} \right.$，a,b,c,d为常数，且$\begin{vmatrix}a \quad b \\ c \quad d \\ \end{vmatrix} =ad-bc \neq 0$，则$(U,V)$服从二维正态分布 - #概率论重点设随机变量$X$与$Y$相互独立，$X$的密度函数为$f_X(x)$，分布函数为$F_X(x)$；$Y$的密度函数为$f_Y(y)$，分布函数为$F_Y(y)$$\(M= \max \left\{ X,Y \right\} ,N= \min \left\{ X,Y\right\}$\)则$M$与$N$的分布函数与密度函数分别为：$\(\begin{array}{c}F_M(x)=F_X(x)F_Y(y) \\ f_M(x)=F_M^\prime(x)=f_X(x)F_Y(x)+F_X(x)f_Y(x) \\ F_N(x)=1-[1-F_X(x)][1-F_Y(x)] \\ f_N(x)=F_N^\prime(x)=f_X(x)[1-F_Y(x)]+f_Y(x)[1-F_X(x)]\end{array}$\)

常见的二维连续性随机变量的分布

二维正态分布

联合密度函数：$f(z_{1},z_{2})= \frac{1}{2 \pi}e^{- \frac{z_{1}^{2}+z_{2}^{2}}{2}}$
- 将图形做仿射变换（平移、线性变换），得到一类图形所表示的密度函数就称为是二维正态分布的密度函数
- 正式定义：设$Z_1,Z_2$为独立同分布$N(0,1)$的随机变量，令$\left\{ \begin{matrix} X= \sigma _{1}Z_{1}+ \mu _{1}\\ Y= \sigma _{2}(\rho Z_{1}+ \sqrt{1- \rho ^{2}}Z_{2})+ \mu _{2}\\ \end{matrix} \right. , \sigma _{1}>0, \sigma _{2}>0,| \rho |<1$，则称$(X,Y)$服从参数为$(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)$的二维正态分布
- 记为：$(X,Y)\sim N(\mu _{1}, \mu _{2}, \sigma _{1}^{2}, \sigma _{2}^{2}, \rho)$
- 矩阵形式：$\begin{pmatrix}X \\ Y \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma _{1}&& 0 \\ \sigma _{2}\rho && \sigma _{2}\sqrt{1- \rho ^{2}}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Z_{1}\\ Z_{2}\\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} \mu _{1}\\ \mu _{2}\\ \end{pmatrix}$
  
  从密度函数看，$X$与$Y$的地位是对称的，去决定了他们的分布特点是一致的
边缘分布：
- $X \sim N(\mu _{1}, \sigma _{1}^{2})$
- $Y \sim N(\mu _{2}, \sigma _{2}^{2})$
- 注：两个边缘分布均与$\rho$无关
条件分布：
- $Y|_{X=x}\sim N(\frac{\sigma _{2}\rho}{\sigma _{1}}(x- \mu _{1})+ \mu _{2}, \sigma _{2}^{2}(1- \rho ^{2}))$
- $X|_{Y=y}\sim N(\frac{\sigma _{1}\rho}{\sigma _{2}}(y- \mu _{2})+ \mu _{1}, \sigma _{1}^{2}(1- \rho ^{2}))$

区域上的均匀分布

密度函数：$f(x,y)= \left\{ \begin{matrix} \frac{1}{|S|},(x,y)\in S \\ 0, 其他\\ \end{matrix} \right.$

"等可能"即在取值空间的每一点密度函数都是相等的区域上的均匀分布常用来解决许多看似不像几何问题的实际问题

二维随机变量及其分布