群
运算及其性质
n元运算的定义
代数系统的概念
二元运算的性质
- 封闭：如果对于任意\(x,y\in A\)，都有\(x*y\in A\)，则称\(*\)运算在集合\(A\)上封闭，或称\(*\)运算是\(A\)上的代数运算
- \(+_m\)和\(×_m\)都是\(Z_m\)
- 交换律：\(x*y=y*x\)
- 幂等律：\(x*x=x\)
- 分配律：\(\left. \begin{array} { l } { x * ( y \Delta z ) = ( x * y ) \Delta ( x * z ) } \\ { ( y \Delta z ) * x = ( y * x ) \Delta ( z * x ) } \end{array} \right.\)
- 吸收律：\(\begin{matrix} x * ( x \Delta y ) = x \\ x \Delta ( x * y ) = x \end{matrix}\)
- 结合律：\((x*y)*z=x*(y*z)\)
半群
- 若运算\(*\)在\(A\)上结合，则称\(<A,*>\)是半群
- 设\(<A,*>\)是半群，\(B\)是\(A\)的非空子集，若\(<B,*>\)也是半群，则称\(<B,*>\)是\(<A,*>\)的子半群
幺元、零元和逆元
幺元
零元
逆元
独异点
- 设\(<A,*>\)是[[群#半群|半群]]，若\(A\)中有关于\(*\)运算的[[群#幺元|幺元]]，则称\(<A,*>\)为独异点
- 设\(<A,＊>\)是独异点，\(B\)是\(A\)的非空子集，若\(<B,＊>\)也是独异点，则称\(<B,＊>\)是独异点\(<A,＊>\)的子独异点(submonoid)
群的基本概念
定义
- 群\(<A,*>\)
- \(<A,*>\)是[[群#独异点|独异点]]
- 结合
- 幺元
- 其中的任意元素都有逆元
- \(<A,*>\)是[[群#独异点|独异点]]
- 证明：
- 证明该运算结合
- 证明该运算存在幺元（左幺元、右幺元）
- 证明每一个元素都存在逆元
性质
- 设\(<G,*>\)是群，对任意\(a\in G\)有\((a^{-1})^{-1}=a\)
- 设\(<G,*>\)是群，对任意\(a,b\in G\)有\((a*b)^{-1}=b^{-1}*a^{-1}*\)
- 群\(<G,*>\)中不可能有零元
- 群\(<G,*>\)中幺元\(e\)是唯一幂等元
- 消去律：设群\(<G,*>\)，任意\(a,b,c\in G\)
- 左消去率：若\(a*b=a*c\)，则\(b=c\)
- 右消去律：若\(b*a=c*a\)，则\(b=c\)
- 设群\(<G,*>\)，任意\(a,b\in G\)，方程\(a*x=b\)与\(y*a=b\)都有唯一解
- 群\(<G,*>\)运算表中的每行或每列都是\(G\)上的一个置换
元素的阶
- 定义：设\(e\)是群\(<G,*>\)的幺元，\(a\in G\)，满足\(a^k=e\)的最小正整数\(k\)，称为元素\(a\)的阶，记作\(|a|\)
- 有限群中每个元素的阶均有限
子群
子群的定义
子群的性质
- 设\(<S,*>\)是\(<G,*>\)的子群，则
- 拥有共同的幺元
- 元素具有相同的逆元
子群的判定
- 设群\(<G,*>\)，\(S\subseteq G\)且\(S\neq \varnothing\)，则\(<S,*>\)是\(<G,*>\)的子群，当且仅当：
- 封闭：对\(\forall a, b \in S\)，有\(a*b\in S\)
- 对\(\forall a \in S\)，有\(a^{-1} \in S\)
子群的陪集
集合的积
陪集
