#计组重点 定点运算

移位运算

在计算机中，移位运算和加减配合，可以实现乘除运算 - 规则： - 对负数移位运算的解释： - 核心：移位前后的符号不变，符合对应表达方式的符号表示 - 原码：移位时候保证最高位的符号位不变即可，所以左移或右移补0不影响 - 补码 ： - 左移：补0 - 右移：补1 - 反码：1 左移与右移对于原数字的影响 - 左移：高位移丢，导致原有的数据错误 - 右移：低位移丢，可能导致精度降低，但不至于使数据偏差过大 在后续的浮点数计算中，在进行对阶时，也依据此原理，将小的阶码向大的阶码对齐

算数逻辑运算与逻辑移位的区别 - 有符号数的移位称为算数移位 - 无符号数的移位称为逻辑移位

加法与减法运算

补码加减运算

• 加法：
  • 整数：$[A{]}_{\mathrm{补}}+[B{]}_{\mathrm{补}}=[A+B{]}_{\mathrm{补}}(\mathrm{mod}{2}^{n+1})$
  • 小数：$[A{]}_{\mathrm{补}}+[B{]}_{\mathrm{补}}=[A+B{]}_{\mathrm{补}}(\mathrm{mod}2)$
• 减法：
  • 整数：$[A-B{]}_{\mathrm{补}}=[A{]}_{\mathrm{补}}+[-B{]}_{\mathrm{补}}(\mathrm{mod}{2}^{n+1})$
  • 小数：$[A-B{]}_{\mathrm{补}}=[A{]}_{\mathrm{补}}+[-B{]}_{\mathrm{补}}(\mathrm{mod}2)$

    取模是为了应对溢出的情况

• 例题：

对于溢出的判断

• 一位符号判断溢出：
  • 参加操作的两个数符号相同，其结果与源操作数的符号不同，则溢出
  • 次高位的进位与高位的进位进行异或，若为1则溢出
• 两位符号判断溢出：结果的两个符号位不同

乘法运算

• 考虑笔算乘法：
  • 符号位单独处理
  • 乘数的某一位决定是否加被乘数
  • 乘积的位数扩大一倍
• 将竖式横置：
  • 启发：我们可以使用移位运算和加法运算结合来实现乘法运算
  • 由此，我们可以使用类似递归的方法来实现乘法运算
• 进一步将其转换为表格的形式：
  • 每一步包含了：
    • $A>>1$
    • $I=\mathrm{乘}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{最}\mathrm{低}\mathrm{位}\ast \mathrm{被}\mathrm{乘}\mathrm{数}$
    • $A=A+I$

原码乘法

• 符号位单独处理：$x_0\oplus y_0$
• 数值部分：$x\ast y$

  对于反码和补码的乘法处理是一致的，一个是取绝对值的操作，另一个是符号的计算

原码两位乘

• 两位乘：每次用乘数的2位判断原部分积是否加和如何加被乘数

  [!attention] 在原码两位乘中，操作数是绝对值的补码，所以在进行移位的时候需要注意负数的情况

• 一个初步的两位乘表格：
  • 问题：不方便计算

乘数$y_{n-1}{y}_n$	新的部分积
00	+0倍, >>2
01	+1倍, >>2
10	+2倍, >>2
11	-1倍(借一位)+4倍, >>2
- 改良后的表格：

乘数$y_{n-1}{y}_n$	标志位$C_j$	操作内容
00	0	$z>>2,y>>2,C_j=0$
01	0	$z+x>>2,y>>2,C_j=0$
10	0	$z+2x>>2,y>>2,C_j=0$
11	0	$z-x>>2,y>>2,C_j=1$
00	1	$z+x>>2,y>>2,C_j=0$
01	1	$z+2x>>2,y>>2,C_j=0$
10	1	$z-x>>2$, $y>>2,$ $C_j=1$
11	1	$z>>2$, $y>>2$, $C_j=1$

• 原码两位乘和原码一位乘比较：

你好	原码一位乘	原码两位乘
符号位	$x_0\oplus y_0$	$x_0\oplus y_0$
操作数	绝对值	绝对值的补码
移位	逻辑右移	算术右移
移位次数	$n$	$\frac{n}{2}$（n为偶数）
最多加法次数	$n$	$\frac{n}{2}+1$（n为偶数）

补码乘法

• 校正法：
  • 乘数y为正：不管被乘数x符号如何，都可以按照原码乘法的规则进行运算
  • 乘数y为负：把乘数的补码$[y{]}_{\mathrm{补}}$去掉符号位，当成一个整数与$[x{]}_{\mathrm{补}}$相乘，然后加上$[-x{]}_{\mathrm{补}}$进行校正
  • 总结：$[x\times y{]}_{\mathrm{补}}=[x{]}_{\mathrm{补}}\ast ([y{]}_{\mathrm{补}}\mathrm{的}\mathrm{数}\mathrm{值}\mathrm{位})$并且在最后根据y的正负确定是否进行校正操作

    [!question] 在补码一位乘里，部分积为什么采用双符号位 补码一位乘是由重复加和移位操作实现的，移位时按补码右移规则进行。 以小数乘法为例，由于乘法过程中相加的结果可能大于1，即小数点前面第一位为数值，占去了符号位的位置，若只用移位符号位，则原符号位被破坏，在移位时候会出现错误。 如部分积采用双符号位，并以最高位代表真正的符号，就可以避免移位时候出错的现象。

[!attention] 在进行相加和移位时，需要按照补码的规则进行 - Booth算法

$y_i{y}_{i+1}$	$y_{i+1}-y_i$	操作
00	0	>>1
01	1	$+[x{]}_{\mathrm{补}}$,>>1
10	-1	$+[-x{]}_{\mathrm{补}}$,>>1
11	0	>>1
> [!attention]
> 在最后一步时候，不进行移位，并且符号位需要参与移位，移位的方式为算数移位

除法运算

• 笔算除法
• 笔算除法与机器除法比较：

笔算除法	机器除法
符号单独处理	符号位由异或得到
心算上商	通过比较大小上商
余数不动，低位补0 $-$右移一位的除数	余数左一一位，低位补0 减除数
2倍字长加法器	1倍字长加法器
上商位置不固定	在寄存器的最末尾上商
### 原码除法
- 约定：
- 小数定点除法$x^{\ast }<y^{\ast }$
- 整数定点除法$x^{\ast }>y^{\ast }$
- 被除数不等于0
- 除数不等于0
- 预处理：当被除数和除数都$\ne 0$，且商$\ne 0$，才进行进一步的除法运算
> [!note] $x^{\ast };y^{\ast }$
> $0.x_1{x}_2\cdots x_n$为x的绝对值，记作$x^{\ast }$
> $0.y_1{y}_2\cdots y_n$为y的绝对值，记作$y^{\ast }$
#### 恢复余数法
- 特点：当余数为负时，加上除数，使其恢复成原来的余数

加减交替法

• 这是恢复余数法的一种改进
• 原码恢复余数法的归纳：
  • 当$R_i>0$：上商1，做$2R_i-y^{\ast }$
  • 当$R_i<0$：上商0，做$2R_i+y^{\ast }$
• 流程图：

补码除法

与补码乘法类似，也可以用补码完成除法操作。补码除法也分恢复余数法和加减交替法，但是加减交替法使用的比较多

[!question] 相比原码除法不够直观，主要需要解决三个问题： 1. 如何确定商值 2. 如何形成商符 3. 如何获得新的余数

商值的确定

1. 比较被除数（余数）和除数的大小
   • 被除数与除数同号：做减法
   • 被除数与除数异号：做加法
2. 商值的确定

商符的确定

• 在求商的过程中，自动根据除数与被除数的符号确定

新余数的获取

与加减交替法一致